Limit Fungsi Aljabar ~ Matematika SMA

Sifat

Berikut ini beberapa sifat yang harus diketahui mengenai limit fungsi aljabar.

1. Misalkan $f(a)$ terdefinisi, maka nilai $\displaystyle\lim_{x\to a} f(x)=f(a)$
   Contoh:$\displaystyle\lim_{x\to6} 5x-11 = 5(6)-11=19$
2. Jika $\displaystyle f(a)=\frac{0}{0}$ (tak tentu), maka nilai $\displaystyle\lim_{x\to a} f(x)$ diselesaikan dengan operasi aljabar
• Memfaktorkan pembilang dan penyebut $f(x)$ dengan faktor $(x-a)$ sehingga dapat disederhanakan.
  Contoh:
  $\begin{aligned}
  \lim_{x\to3} \frac{x^2-7x+12}{x^2-9}&=\lim_{x\to3} \frac{(x-3)(x-4)}{(x-3)(x+3)}\\
  &=\lim_{x\to3} \frac{x-4}{x+3}\\
  &=\frac{3-4}{3+3}\\
  &=-\frac{1}{6}\end{aligned}$
• Mengalikan pembilang dan penyebut dengan sekawannya apabila terdapat bentuk akar, kemudian disederhanakan
  Contoh:
  $\begin{aligned}
  \lim_{x\to-2} \frac{x+2}{\sqrt{5x+14}-2}&=\lim_{x\to-2}\frac{\left(x+2\right)\left(\sqrt{5x+14}+2\right)}{\left(\sqrt{5x+14}-2\right)\left(\sqrt{5x+14}+2\right)}\\
  &=\lim_{x\to-2}\frac{\left(x+2\right)\left(\sqrt{5x+14}+2\right)}{5x+10}\\
  &=\lim_{x\to-2}\frac{\left(x+2\right)\left(\sqrt{5x+14}+2\right)}{5(x+2)}\\
  &=\lim_{x\to-2}\frac{\left(\sqrt{5x+14}+2\right)}{5}\\
  &=\frac{\left(\sqrt{5(-2)+14}+2\right)}{5}\\
  &=\frac{4}{5}\end{aligned}$

Latihan Soal

Nah, sekarang latihan soal berikut ini bisa dicoba

1. $\displaystyle\lim_{x\to4}\frac{x^2-2x-8}{x-4}$
2. $\displaystyle\lim_{x\to16}\frac{\sqrt{4x}-8}{x-16}$
3. $\displaystyle\lim_{x\to3}\frac{x^2-9}{\sqrt{10-2x}-(x+1)}$
4. $\displaystyle\lim_{x\to0}\frac{\sqrt{9+3x}-\sqrt{9-3x}}{4x}$

Selamat Belajar!

Tag Technorati: {grup-tag}limit fungsi aljabar,limit fungsi,aljabar

More about → Limit Fungsi Aljabar ~ Matematika SMA

Pengenalan Limit ~ Matematika SMA

Pengertian

Misalkan suatu fungsi $f(x)$ didefinisikan di sekitar $x=a$, maka
$$\lim_{x\to a}f(x)=L$$
diartikan untuk $x$ mendekati $a$ mengakibatkan fungsi $f(x)$ mendekati $L$.

Contoh:

Jika $f(x)=2x+1$, tentukan nilai $\displaystyle\lim_{x\to0}f(x)$

Solusi:

Perhatikan tabel berikut!

$x$	$f(x)=2x+1$	$x$	$f(x)=2x+1$
1	3	-1	-1
0,1	1,2	-0,1	0,8
0,01	1,02	-0,01	0,98
0,001	1,002	-0,001	0,998
0,0001	1.0002	-0,0001	0,9998
0,0000000001	1,0000000002	-0,0000000001	0,9999999998

Kita tahu bahwa fungsi $f(x)=2x+1$ memiliki nilai yang mendekati $1$ ketika $x$ mendekati $0$, baik saat $x$ lebih dari $0$ maupun kurang dari $0$ (kita notasikan $x=0^+$ dan $x=0^-$.
Secara ringkas dapat kita tuliskan
$$\begin{aligned}
\lim_{x\to0^+}2x+1&=1\\
\lim_{x\to0^-}2x+1&=1
\end{aligned}$$
Sehingga dapat kita simpulkan bahwa
$$\lim_{x\to0}2x+1=2(0)+1=1$$

Problem:

Berapakah nilai $\displaystyle\lim_{x\to0}\frac{1}{x}$?

Solusi:

$x$	$f(x)=1/x$	$x$	$f(x)=1/x$
1	1	-1	-1
0,1	10	-0,1	-10
0,01	100	-0,01	-100
0,001	1000	-0,001	-1000
0,0001	10000	-0,0001	-10000
0,0000000001	10000000000	-0,0000000001	-10000000000

Perhatikan bahwa saat $x$ dari $1$ menuju $0$, nilai $f(x)=\frac{1}{x}$ akan mendekati $\infty$. Akan tetapi, apabila kita lihat pada saat $x$ berada di antara $-1$ dan $0$, didapat nilai $f(x)$ mendekati $-\infty$.
Atau dapat kita tuliskan:
$$\begin{aligned}
\lim_{x\to0^+}\frac{1}{x}&=\infty\\
\lim_{x\to0^-}\frac{1}{x}&=-\infty
\end{aligned}$$
Dengan demikian, bisa kita simpulkan bahwa
$$\lim_{x\to0}\frac{1}{x}=\text{tidak ada}$$

Latihan Soal:

Tentukanlah nilai limit pada fungsi berikut!

1. $\displaystyle\lim_{x\to3}4x+9$
2. $\displaystyle\lim_{x\to5}\sqrt{x^2+10x-25}$
3. $\displaystyle\lim_{x\to\pi}\sin2x$
4. $\displaystyle\lim_{x\to2\pi}\tan\left(\frac{x}{4}\right)$

Selamat Belajar!

More about → Pengenalan Limit ~ Matematika SMA

Problem - Nilai Maksimum fungsi Trigonometri

Problem:
Tentukan nilai maksimum dari
$$y=5- \frac{15}{4\cos x - 2\sqrt{5}\sin x +9}$$

Solusi:
Perhatikan bahwa $4\cos x - 2\sqrt{5}\sin x$ dapat disederhanakan menjadi:
$$
\begin{aligned}
4\cos x - 2\sqrt{5}\sin x&=\left(\sqrt{16+20}\right)\left(\cos\alpha\cos x - \sin\alpha\sin x\right)\quad \alpha=\arctan{\frac{\sqrt{5}}{2}}\\
&=6\cos(x+\alpha)
\end{aligned}
$$
Sehingga soal di atas dapat disederhanakan menjadi:
$$y=5-\frac{15}{6\cos(x+\alpha)+9}$$
Agar nilai $y$ maksimum, haruslah $\displaystyle \frac{15}{6\cos(x+\alpha)+9}$ minimum. Yang berarti bahwa nilai $\cos(x+\alpha)$ mencapai maksimum, yakni $= 1$. Sehingga Nilai maksimum $y$ adalah:
$$
\begin{aligned}
y&=5-\frac{15}{6\cos(x+\alpha)+9}\\
&=5-\frac{15}{6+9}\\
&=5-\frac{15}{15}\\
&=5-1\\
&=4
\end{aligned}
$$
Jadi Nilai maksimum $y$ adalah $4$

Technorati : fungsi, maksimum, trigonometri Del.icio.us : fungsi, maksimum, trigonometri
Zooomr : fungsi, maksimum, trigonometri Flickr : fungsi, maksimum, trigonometri

More about → Problem - Nilai Maksimum fungsi Trigonometri

Eksponen ~ Matematika SMA

Pengertian

Secara umum Eksponen dapat dinyatakan sebagai berikut:$$a^n=a\times a\times a\times \cdots \times a$$, untuk $n$ bilangan bulat positif.

Contoh

$2^3=2\times2\times2=8$

Sifat-Sifat Eksponen

Untuk $a,b\in\textbf{R}$ berlaku:

1. $a^m.a^n=a^{m+n}$
2. $\frac{a^m}{a^n}=a^{m-n}$
3. $\left(a^m\right)^n=a^{mn}$
4. $\displaystyle\frac{1}{a^m}=a^{-m}$
5. $a^{\frac{m}{n}}=\sqrt[n]{a^m}$
6. $a^m.b^m=\left(ab\right)^m$
7. $\displaystyle\frac{a^m}{b^m}=\left(\frac{a}{b}\right)^m$
8. $a^0=1,\quad a\ne0$
9. $1^m=1$

Contoh

Bentuk sederhana dari $\displaystyle\frac{x^5-x^3}{(x+1)^2}$ adalah ....

Solusi

$\begin{aligned}
\frac{x^5-x^3}{(x+1)^2}&=\frac{x^3(x^2-1)}{(x+1)^2}\\
&=\frac{x^3(x-1)(x+1)}{(x+1)(x+1)}\\
&=\frac{x^3(x-1)}{x+1}
\end{aligned}$

Latihan Soal

Tentukan Nilai $k$ yang memenuhi $x^a(x^{a+1})^a(x^a)^{1-a}=x^{k-1}$

Selamat Mencoba!

More about → Eksponen ~ Matematika SMA

Problem - Tangen sudut rangkap

Problem:
Buktikan bahwa $$\begin{aligned}\tan n\theta &=\frac{\displaystyle\binom{n}{1} \tan \theta - \binom{n}{3} \tan^3\theta+\cdots}{\displaystyle1-\binom{n}{2} \tan^2\theta+\cdots}\end{aligned}$$

Solusi:

More about → Problem - Tangen sudut rangkap