Limit Fungsi Trigonometri ~ Matematika SMA

Dalam limit fungsi aljabar, kita tahu bahwa untuk suatu $f(a)=\displaystyle\frac{0}{0}$ dapat dicari dengan cara memfaktorkan pembilang dan penyebut $f(x)$ sehingga dapat disederhanakan, atau dengan mengalikan sekawan dari fungsi tersebut. Namun, sifat tersebut tidak berlaku pada $f(x)=\sin x / x$? meski $f(0)$ memiliki bentuk tak tentu. Nah, untuk menentukan nilai limit fungsi trigonometri, dapat menggunakan bentuk berikut.

Rumus Dasar

Pada dasarnya untuk menyelesaikan suatu limit fungsi trigonometri, digunakan rumus berikut
$$
\begin{aligned}
\lim_{x\to0}\frac{\sin x}{x}&= 1\\
\lim_{x\to0}\frac{x}{\sin x}&= 1\\
\lim_{x\to0}\frac{\tan x}{x}&= 1\\
\lim_{x\to0}\frac{x}{\tan x}&=1
\end{aligned}
$$

Bukti

Perhatikan gambar lingkaran berikut ini!

dari gambar tersebut, kita tahu bahwa $L_{\triangle OAB} < L_{\text{juring }OAC} <L_{\triangle ODC}$.
Sementara itu, $\triangle OAB \sim \triangle ODC$ sehingga
$$\frac{OB}{OA}=\cos x =\frac{OD}{OC}$$ dan $$\frac{AB}{OB}=\tan x = \frac{DC}{OC}$$
karena $OA=OC=1$ dengan menyelesaikan ruas kiri dan tengah, didapat:
$$\frac{OB}{1}= \cos x \Leftrightarrow OB=\cos x$$
dan
$$\frac{AB}{OB}= \tan x \Leftrightarrow AB = \tan x (OB) = \frac{\sin x}{\cos x}\cos x = \sin x$$
dengan cara yang sama untuk ruas kanan dan tengah diperoleh $DC=\tan x$.

Kembali ke sebelumnya, bahwa $L_{\triangle OAB} < L_{\text{juring }OAC} <L_{\triangle ODC}$ mengakibatkan
$$
\begin{aligned}
L_{\triangle OAB} &< L_{\text{juring }OAC} <L_{\triangle ODC}\\
\frac{1}{2}OB\times AB &< \frac{x}{2\pi}\pi OA^2 < \frac{1}{2}OC\times DC\\
\frac{\cos x \sin x}{2} &< \frac{x (1)^2}{2} <\frac{\tan x}{2}\\
\cos x \sin x &< x < \frac{\sin x}{\cos x}\\
\cos x &<\frac{x}{\sin x} < \frac{1}{\cos x}
\end{aligned}
$$
Bentuk di atas jika kita ambil limit $x\to 0$ maka:
$$\begin{aligned}
\lim_{x\to0}\cos x&< \lim_{x\to0}\frac{x}{\sin x} < \lim_{x\to0}\frac{1}{\cos x}\\
1 &<\lim_{x\to 0}\frac{x}{\sin x} < 1
\end{aligned}$$
Berdasarkan Teorema Apit, maka kita peroleh $\displaystyle\lim_{x\to0}\frac{x}{\sin x}=1$.
Jika kita balik, kita akan peroleh
$$\begin{aligned}
\lim_{x\to0}\frac{1}{\cos x}&>\lim_{x\to0}\frac{\sin x}{x} > \lim_{x\to0}\cos x\\
1 &>\lim_{x\to 0}\frac{\sin x}{x} > 1
\end{aligned}$$
yang juga mengakibatkan $\displaystyle\lim_{x\to0}\frac{\sin x}{x}=1$.
Kalikan kedua ruas dengan $1/\cos x$ maka akan menghasilkan $\displaystyle\lim_{x\to0}\frac{\tan x}{x}=1$.
Misalkan $u=ax$ untuk $a$ suatu bilangan real, jelas bahwa $\displaystyle\lim_{u\to0}\frac{\sin u}{u}=1$ atau
$$\lim_{ax\to0}\frac{\sin ax}{ax}=1$$
Jika kita kalikan kedua ruas dengan $\displaystyle\frac{ax}{bx}$ maka:
$$
\begin{aligned}
\lim_{ax\to0}\frac{\sin ax}{ax}\cdot\frac{ax}{bx} &=1\cdot\frac{ax}{bx}\\
\lim_{ax\to}\frac{\sin ax}{bx} \cdot\frac{ax}{ax} &= \frac{a}{b}\\
\lim_{ax\to}\frac{\sin ax}{bx}  &= \frac{a}{b}\end{aligned}$$
karena $ax \to 0$ maka $x\to 0$. Dengan demikian
$$\lim_{x\to 0} \frac{\sin ax}{bx}=\frac{a}{b}$$
Selengkapnya dapat dilihat pada bentuk-bentuk di bawah ini.

Rumus-rumus Lainnya

Dari rumus dasar limit fungsi trigonometri di atas, dapat digeneralisasikan menjadi

1. 
   $\displaystyle\lim_{x\to0}\frac{\sin ax}{bx}=\lim_{x\to0}\frac{ax}{\sin bx}=\frac{a}{b}$
2. 
   $\displaystyle\lim_{x\to0}\frac{\tan ax}{bx}=\lim_{x\to0}\frac{ax}{\tan bx}=\frac{a}{b}$
3. 
   $\displaystyle\lim_{x\to p}\frac{\sin a(x-p)}{b(x-p)}=\lim_{x\to p}\frac{a(x-p)}{\sin b(x-p)}=\frac{a}{b}$
4. 
   $\displaystyle\lim_{x\to p}\frac{\tan a(x-p)}{b(x-p)}=\lim_{x\to p}\frac{a(x-p)}{\tan b(x-p)}=\frac{a}{b}$
5. 
   

Untuk pembuktiannya bisa dicoba sendiri oleh pembaca.

Contoh Soal

Selesaikanlah bentuk-bentuk limit berikut!

1. $\displaystyle\lim_{x\to0}\frac{\sin 3x}{\tan 5x}$.
2. $\displaystyle\lim_{x\to0}\frac{\sin x}{5x\cos2x}$.

Solusi

1. 
   $\begin{aligned}
   \lim_{x\to0}\frac{\sin 3x}{5x}&=\lim_{x\to0}\frac{\sin3x}{5x}\cdot\frac{3x}{3x}\\
   &=\lim_{x\to0}\frac{\sin 3x}{3x}\cdot\frac{3x}{5x}\\
   &=\lim_{x\to0}\frac{\sin 3x}{3x}\cdot\lim_{x\to0}\frac{3}{5}\\
   &=1\times\frac{3}{5}\\
   &=\frac{3}{5}
   \end{aligned}$
2. 
   $\begin{aligned}
   \lim_{x\to0}\frac{\sin x}{5x\cos 2x}&=\lim_{x\to0}\frac{\sin3x}{5x}\cdot\frac{x}{x}\cdot\frac{1}{\cos x}\\
   &=\lim_{x\to0}\frac{\sin x}{x}\cdot\frac{x}{5x}\cdot\frac{1}{\cos x}\\
   &=\lim_{x\to0}\frac{\sin x}{x}\cdot\lim_{x\to0}\frac{3}{5}\cdot\lim_{x\to0}\frac{1}{\cos x}\\
   &=1\times\frac{3}{5}\times 1\\
   &=\frac{3}{5}
   \end{aligned}$

Latihan Soal

1. $\displaystyle\lim_{x\to-5}\frac{\sin 2x+10}{\tan 5x+25}$
2. $\displaystyle\lim_{x\to\pi}\frac{\tan (3x}{\sin 2x}$
3. $\displaystyle\lim_{x\to3}\frac{x^2-9}{\tan (x-3)}$

Selamat Belajar!

Tag Technorati: {grup-tag}limit fungsi trigonometri