Dalil L'Hôpital ~ Matematika SMA

 

Dalil L'Hôpital (baca: Lopi'tal, juga kadang-kadang dieja L'Hospital dengan "s" yang dibaca sunyi, di mana dalam ejaan Prancis, hal tersebut digantikan dengan tanda sirkumfleksa di atas huruf vokal sebelumnya) diambil dari nama seorang bangsawan Prancis yang sekaligus matematikawan, Guillaume François Antoine, Marquis de l'Hôpital (1661 - 2 Pebruari 1704) Namanya diabadikan di dalam suatu hasil yang dikenal dengan nama aturan l'Hôpital untuk memecahkan perhitungan yang berkaitan dengan format yang tak menentu $0/0$ dan $\infty/\infty$. Walaupun sebenarnya aturan tersebut tidak berasal dari l'Hôpital, (diduga kuat aturan ini dari matematikawan Jacob Bernoulli) aturan ini tercetak untuk pertama kalinya di dalam bukunya yang berjudul Analyse des Infiniment Petits pour l'Intelligence des Lignes Courbes. Edisi buku tersebut juga tercetak dalam beberapa bahasa asing dan menjadi salah satu model dalam perhitungan kalkulus.

Bagaimanakah Aturan/Dalil l'Hôpital tersebut? kita simak materi berikut ini.

Dalil L'Hôpital

Untuk suatu fungsi $f$ dan $g$, jika $\displaystyle\lim_{x\to a} f(x)=\lim_{x\to a} g(x)=0$ atau $\pm \infty$ dan $\displaystyle\frac{\lim_{x\to a} f'(x)}{\lim_{x\to a}g'(x)}$ ada, maka:
$$\lim_{x\to a}\frac{ f(x)}{g(x)} = \lim_{x\to a}\frac{f'(x)}{g'(x)}$$

Bukti Spesial

Bukti spesial untuk kasus $\displaystyle\lim_{x\to a} f(x)=\lim_{x\to a} g(x)=0$, maka
$$\begin{aligned}\lim_{x\to a}\frac{f(x)}{g(x)}&= \lim_{x\to a}\frac{f(x)-0}{g(x)-0}\\& = \lim_{x\to a}\frac{f(x)-f(a)}{g(x)-g(a)}\\& = \lim_{x\to a}\frac{\left(\frac{f(x)-f(a)}{x-a}\right)}{\left(\frac{g(x)-g(a)}{x-a}\right)}\\& =\frac{\lim_{x\to a}\left(\frac{f(x)-f(a)}{x-a}\right)}{\lim_{x\to a}\left(\frac{g(x)-g(a}{x-a}\right)}\\&= \frac{f'(a)}{g'(a)}\\& = \lim_{x\to a}\frac{f'(x)}{g'(x)}\end{aligned}$$

Contoh

$\displaystyle\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = \lim_{x \to 0} \frac{\cos x}{1} = \frac{\cos 0}{1} = 1$

Catatan

• Dalil L'Hôpital dapat digunakan berkali-kali selama limit tersebut masih memiliki bentuk tak tentu. Misal $\displaystyle \lim_{x\to 0} \frac{\cos3x}{4x^2} = \lim_{x\to 0} \frac{-3\sin 3x}{8x} = \lim_{x\to 0} \frac{-9 cos 3x}{8} = \frac{-9}{8}$
• Untuk limit fungsi aljabar yang banyak menggunakan tanda akar, akan lebih sulit mengaplikasikan dalil ini, sebaiknya gunakan perkalian sekawan, itu lebih baik.

Nah, mudah kan, sebagai latihan, bisa dicoba soal-soal berikut

Latihan Soal

1. $\displaystyle \lim_{x\to0} \frac{-x^2}{1-\cos x}$
2. $\displaystyle \lim_{x\to0} \frac{1-\cos x}{2x\sin3x}$
3. $\displaystyle \lim_{x\to0} \frac{2^x-1}{x-1}$ (Ingat: turunan fungsi dari $a^x$ adalah $\ln{a}.a^x$)
4. $\displaystyle \lim_{x\to 5} \frac{x\sqrt{x}-5\sqrt{5}}{\sqrt{x} - \sqrt{5}}$ (Substitusi $y=\sqrt{x}$, sehingga $y\to\sqrt{5}$ lalu gunakan l'Hopital)

Sementara itu dulu. Jika ada pertanyaan bisa ditanyakan di komentar
Selamat Belajar

 

Referensi:

1. Guillaume de l'Hôpital, Marquis de l'Hôpital - Wikipedia bahasa Indonesia, ensiklopedia bebas

Tag Technorati: {grup-tag}limit,turunan,l'hopital,l'hospital,dalil l'hospital,l'hospital's rule

 

More about → Dalil L'Hôpital ~ Matematika SMA

Limit Fungsi Trigonometri ~ Matematika SMA

Dalam limit fungsi aljabar, kita tahu bahwa untuk suatu $f(a)=\displaystyle\frac{0}{0}$ dapat dicari dengan cara memfaktorkan pembilang dan penyebut $f(x)$ sehingga dapat disederhanakan, atau dengan mengalikan sekawan dari fungsi tersebut. Namun, sifat tersebut tidak berlaku pada $f(x)=\sin x / x$? meski $f(0)$ memiliki bentuk tak tentu. Nah, untuk menentukan nilai limit fungsi trigonometri, dapat menggunakan bentuk berikut.

Rumus Dasar

Pada dasarnya untuk menyelesaikan suatu limit fungsi trigonometri, digunakan rumus berikut
$$
\begin{aligned}
\lim_{x\to0}\frac{\sin x}{x}&= 1\\
\lim_{x\to0}\frac{x}{\sin x}&= 1\\
\lim_{x\to0}\frac{\tan x}{x}&= 1\\
\lim_{x\to0}\frac{x}{\tan x}&=1
\end{aligned}
$$

Bukti

Perhatikan gambar lingkaran berikut ini!

dari gambar tersebut, kita tahu bahwa $L_{\triangle OAB} < L_{\text{juring }OAC} <L_{\triangle ODC}$.
Sementara itu, $\triangle OAB \sim \triangle ODC$ sehingga
$$\frac{OB}{OA}=\cos x =\frac{OD}{OC}$$ dan $$\frac{AB}{OB}=\tan x = \frac{DC}{OC}$$
karena $OA=OC=1$ dengan menyelesaikan ruas kiri dan tengah, didapat:
$$\frac{OB}{1}= \cos x \Leftrightarrow OB=\cos x$$
dan
$$\frac{AB}{OB}= \tan x \Leftrightarrow AB = \tan x (OB) = \frac{\sin x}{\cos x}\cos x = \sin x$$
dengan cara yang sama untuk ruas kanan dan tengah diperoleh $DC=\tan x$.

Kembali ke sebelumnya, bahwa $L_{\triangle OAB} < L_{\text{juring }OAC} <L_{\triangle ODC}$ mengakibatkan
$$
\begin{aligned}
L_{\triangle OAB} &< L_{\text{juring }OAC} <L_{\triangle ODC}\\
\frac{1}{2}OB\times AB &< \frac{x}{2\pi}\pi OA^2 < \frac{1}{2}OC\times DC\\
\frac{\cos x \sin x}{2} &< \frac{x (1)^2}{2} <\frac{\tan x}{2}\\
\cos x \sin x &< x < \frac{\sin x}{\cos x}\\
\cos x &<\frac{x}{\sin x} < \frac{1}{\cos x}
\end{aligned}
$$
Bentuk di atas jika kita ambil limit $x\to 0$ maka:
$$\begin{aligned}
\lim_{x\to0}\cos x&< \lim_{x\to0}\frac{x}{\sin x} < \lim_{x\to0}\frac{1}{\cos x}\\
1 &<\lim_{x\to 0}\frac{x}{\sin x} < 1
\end{aligned}$$
Berdasarkan Teorema Apit, maka kita peroleh $\displaystyle\lim_{x\to0}\frac{x}{\sin x}=1$.
Jika kita balik, kita akan peroleh
$$\begin{aligned}
\lim_{x\to0}\frac{1}{\cos x}&>\lim_{x\to0}\frac{\sin x}{x} > \lim_{x\to0}\cos x\\
1 &>\lim_{x\to 0}\frac{\sin x}{x} > 1
\end{aligned}$$
yang juga mengakibatkan $\displaystyle\lim_{x\to0}\frac{\sin x}{x}=1$.
Kalikan kedua ruas dengan $1/\cos x$ maka akan menghasilkan $\displaystyle\lim_{x\to0}\frac{\tan x}{x}=1$.
Misalkan $u=ax$ untuk $a$ suatu bilangan real, jelas bahwa $\displaystyle\lim_{u\to0}\frac{\sin u}{u}=1$ atau
$$\lim_{ax\to0}\frac{\sin ax}{ax}=1$$
Jika kita kalikan kedua ruas dengan $\displaystyle\frac{ax}{bx}$ maka:
$$
\begin{aligned}
\lim_{ax\to0}\frac{\sin ax}{ax}\cdot\frac{ax}{bx} &=1\cdot\frac{ax}{bx}\\
\lim_{ax\to}\frac{\sin ax}{bx} \cdot\frac{ax}{ax} &= \frac{a}{b}\\
\lim_{ax\to}\frac{\sin ax}{bx}  &= \frac{a}{b}\end{aligned}$$
karena $ax \to 0$ maka $x\to 0$. Dengan demikian
$$\lim_{x\to 0} \frac{\sin ax}{bx}=\frac{a}{b}$$
Selengkapnya dapat dilihat pada bentuk-bentuk di bawah ini.

Rumus-rumus Lainnya

Dari rumus dasar limit fungsi trigonometri di atas, dapat digeneralisasikan menjadi

1. 
   $\displaystyle\lim_{x\to0}\frac{\sin ax}{bx}=\lim_{x\to0}\frac{ax}{\sin bx}=\frac{a}{b}$
2. 
   $\displaystyle\lim_{x\to0}\frac{\tan ax}{bx}=\lim_{x\to0}\frac{ax}{\tan bx}=\frac{a}{b}$
3. 
   $\displaystyle\lim_{x\to p}\frac{\sin a(x-p)}{b(x-p)}=\lim_{x\to p}\frac{a(x-p)}{\sin b(x-p)}=\frac{a}{b}$
4. 
   $\displaystyle\lim_{x\to p}\frac{\tan a(x-p)}{b(x-p)}=\lim_{x\to p}\frac{a(x-p)}{\tan b(x-p)}=\frac{a}{b}$
5. 
   

Untuk pembuktiannya bisa dicoba sendiri oleh pembaca.

Contoh Soal

Selesaikanlah bentuk-bentuk limit berikut!

1. $\displaystyle\lim_{x\to0}\frac{\sin 3x}{\tan 5x}$.
2. $\displaystyle\lim_{x\to0}\frac{\sin x}{5x\cos2x}$.

Solusi

1. 
   $\begin{aligned}
   \lim_{x\to0}\frac{\sin 3x}{5x}&=\lim_{x\to0}\frac{\sin3x}{5x}\cdot\frac{3x}{3x}\\
   &=\lim_{x\to0}\frac{\sin 3x}{3x}\cdot\frac{3x}{5x}\\
   &=\lim_{x\to0}\frac{\sin 3x}{3x}\cdot\lim_{x\to0}\frac{3}{5}\\
   &=1\times\frac{3}{5}\\
   &=\frac{3}{5}
   \end{aligned}$
2. 
   $\begin{aligned}
   \lim_{x\to0}\frac{\sin x}{5x\cos 2x}&=\lim_{x\to0}\frac{\sin3x}{5x}\cdot\frac{x}{x}\cdot\frac{1}{\cos x}\\
   &=\lim_{x\to0}\frac{\sin x}{x}\cdot\frac{x}{5x}\cdot\frac{1}{\cos x}\\
   &=\lim_{x\to0}\frac{\sin x}{x}\cdot\lim_{x\to0}\frac{3}{5}\cdot\lim_{x\to0}\frac{1}{\cos x}\\
   &=1\times\frac{3}{5}\times 1\\
   &=\frac{3}{5}
   \end{aligned}$

Latihan Soal

1. $\displaystyle\lim_{x\to-5}\frac{\sin 2x+10}{\tan 5x+25}$
2. $\displaystyle\lim_{x\to\pi}\frac{\tan (3x}{\sin 2x}$
3. $\displaystyle\lim_{x\to3}\frac{x^2-9}{\tan (x-3)}$

Selamat Belajar!

Tag Technorati: {grup-tag}limit fungsi trigonometri

More about → Limit Fungsi Trigonometri ~ Matematika SMA

Teorema Limit ~ Matematika SMA

Sebelumnya kita mengetahui bahwa, jika $f(a)$ terdefinisi, maka $\displaystyle\lim_{x\to a}f(x) = f(a)$. Dari sini, dapat dikembangkan menjadi beberapa teorema seperti berikut.

Teorema

Misalkan $n$ merupakan bilangan asli, $k$ konstanta, serta $f$ dan $g$ fungsi-fungsi yang mempunyai limit di $a$, maka

1. 
   $\displaystyle\lim_{x\to a}k = k$
   Contoh:$\displaystyle\lim_{x\to5}3 = 3$
2. 
   $\displaystyle\lim_{x\to a}kf(x) = k\lim_{x\to a}f(x)$
   Contoh:
   $\displaystyle\lim_{x\to 2}5(x+7)= 5\lim_{x\to 2}(x+7)=5(9)=45$
3. 
   $\displaystyle\lim_{x\to a}\left[f(x)\pm g(x)\right] = \lim_{x\to a}f(x)\pm\lim_{x\to a}g(x)$
   Contoh:
   $\displaystyle
   \begin{aligned}
   \lim_{x\to 2}\left[(x+7)+(2x-5)\right]&=\lim_{x\to 2}(x+7)+\lim_{x\to 2}(2x-5)\\
   \lim_{x\to 2} 3x+2 &=\lim_{x\to 2}(x+7)+\lim_{x\to 2}(2x-5)\\
   3(2)+2 &= (2+7) + (2(2)-5)\\
   8 &= 9 + (-1)\\
   8 &= 8\end{aligned}$
4. 
   $\displaystyle\lim_{x\to a}\left[f(x)\times g(x)\right] = \lim_{x\to a}f(x)\times\lim_{x\to a}g(x)$
   Contoh:
   $\displaystyle
   \begin{aligned}
   \lim_{x\to 2}\left[(x+7)(2x-5)\right]&=\lim_{x\to 2}(x+7)\times\lim_{x\to 2}(2x-5)\\
   \lim_{x\to 2} 2x^2+9x-35 &=\lim_{x\to 2}(x+7)\times\lim_{x\to 2}(2x-5)\\
   2(2)^2+9(2)-35 &= (2+7) \times (2(2)-5)\\
   8+18-35 &= 9 \times (-1)\\
   -9 &= -9\end{aligned}$
5. 
   $\displaystyle\lim_{x\to a}\frac{f(x)}{g(x)} = \frac{\lim_{x\to a}f(x)}{\lim_{x\to a}g(x)}$ dengan syarat $\displaystyle\lim_{x\to a}g(x)\ne0$
   Contoh:
   $\displaystyle
   \begin{aligned}
   \lim_{x\to 2}\frac{x+7}{2x-5}&=\frac{\lim_{x\to 2}(x+7)}{\lim_{x\to 2}(2x-5)}\\
   \frac{2+7}{2(2)-5} &= \frac{2+7}{2(2)-5} \\
   -9 &= -9\end{aligned}$
6. 
   $\displaystyle\lim_{x\to a}\left[f(x)\right]^n= \left[\lim_{x\to a}f(x)\right]^n$
   Contoh:
   $\displaystyle
   \begin{aligned}
   \lim_{x\to 2}(x+7)^2&=\left(\lim_{x\to 2}(x+7)\right)^2\\
   \lim_{x\to 2}x^2+14x+49&=\left(\lim_{x\to 2}(x+7)\right)^2\\
   (2)^2+14(2)+49 &= (2+7)^2 \\
   81 &= 81\end{aligned}$
7. 
   $\displaystyle\lim_{x\to a}\sqrt[n]{f(x)}= \sqrt[n]{\lim_{x\to a}f(x)}$
   Contoh:
   $\displaystyle
   \begin{aligned}
   \lim_{x\to 2}\sqrt{x+7}&=\sqrt{\lim_{x\to 2}(x+7)}\\
   \sqrt{9} &= \sqrt{9} \\
   3 &= 3\end{aligned}$

Latihan Soal

Nah, sekarang latihan soal.

1. Hitunglah!
   • $\displaystyle\lim_{x\to3}(x+3)(x+2)^2$
   • $\displaystyle\lim_{x\to3}\sqrt{(x+3)^2-(x+2)^2}$
2. Jika diketahui $\displaystyle\lim_{x\to a}f(x)=1$ dan $\displaystyle\lim_{x\to a}g(x)=3$. Tentukan nilai dari
   • $\displaystyle \lim_{x\to a} \left[f(x) + 2g(x)\right]$
     
   • $\displaystyle \lim_{x\to a} \left[3f(x) - g(x)\right]^5$
     
   • $\displaystyle \lim_{x\to a} \sqrt{f(x)^2 + g(x)^2}$

Selamat Belajar!

Tag Technorati: {grup-tag}Teorema Limit,Teorema,Limit

More about → Teorema Limit ~ Matematika SMA

Limit Tak Hingga ~ Matematika SMA

Pernahkah kita memikirkan, bagaimana jika seandainya sepotong roti dibagikan kepada seluruh penduduk di dunia? Seberapa besar potongan roti yang kita dapat? Cukup kecil, bahkan sangat kecil, bisa juga kita menganggapnya hampir tak ada potongan roti yang kita dapat. Bagaimana jika seandainya penduduk bumi ini ada takhingga jumlahnya? seberapa besar potongan roti yang kita terima? Nah, hal ini bisa kita pelajari lebih lanjut pada bahasan kali ini.

Rumus Dasar

Berawal dari bentuk $\displaystyle\frac{1}{x}$
Kita tahu bahwa saat nilai $x$ sangat besar, mengakibatkan $\displaystyle\frac{1}{x}$ menjadi sangat kecil. Untuk $x\to\infty$ mengakibatkan $\displaystyle\frac{1}{x}\to0$. Sehingga $$\displaystyle\lim_{x\to\infty}\frac{1}{x}=0$$.
Rumus tersebut dapat dikembangkan menjadi rumus-rumus berikut:

1. $\displaystyle\lim_{x\to\infty}\frac{a}{x^n}=0$ untuk $n$ bilangan asli.
   
2. $\displaystyle\lim_{x\to\infty}\frac{a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+\cdots+a_1x+a_0}{b_mx^m+b_{m-1}x^{m-1}+\cdots+b_1x+b_0}$ menghasilkan:
   • 
     $\infty$ jika $n>m$
     
   • 
     $\displaystyle\frac{a_n}{b_m} jika $n=m$
     
   • 
     $0$ jika $n<m$
   
   
3. $\displaystyle\lim_{x\to\infty}\left(\sqrt{f(x)}-\sqrt{g(x)}\right)$ nilainya dapat ditentukan dengan mengalikan dengan sekawannya $\displaystyle\left(\frac{\sqrt{f(x)}+\sqrt{g(x)}}{\sqrt{f(x)}+\sqrt{g(x)}}\right)$ sehingga diperoleh bentuk pecahan dari limit tersebut (dan dapat digunakan rumus no 2 untuk menyelesaikannya)

Contoh

Tentukanlah nilai dari limit-limit berikut:

1. 
   $\displaystyle\lim_{x\to\infty}\frac{4x^2-7x+6}{6x^2-9x+15}$
   
2. 
   $\displaystyle\lim_{x\to\infty}\sqrt{4x^2-5x+9}-\sqrt{4x^2+8x-16}$

Solusi

1. 
   $\displaystyle\begin{aligned}\lim_{x\to\infty}\frac{4x^2-7x+6}{6x^2-9x+15}&=\frac{(4x^2-7x+6)\div x^2}{(6x^2-9x+15)\div x^2}\\&=\lim_{x\to\infty}\frac{4-\frac{7}{x}+\frac{6}{x^2}}{6-\frac{9}{x}+\frac{15}{x^2}}\\&=\frac{4-\frac{7}{\infty}+\frac{6}{\infty^2}}{6-\frac{9}{\infty}+\frac{15}{\infty^2}}\\&=\frac{4-0+0}{6-0+0}\\&=\frac{4}{6}=\frac{2}{3}\end{aligned}$
   
2. 
   $\displaystyle
   \begin{aligned}&\; \lim_{x\to\infty}\sqrt{4x^2-5x+9}-\sqrt{4x^2+8x-16}\\
   &=\lim_{x\to\infty}\left(\sqrt{4x^2-5x+9}-\sqrt{4x^2+8x-16}\right)\left(\frac{\sqrt{4x^2-5x+9}+\sqrt{4x^2+8x-16}}{\sqrt{4x^2-5x+9}+\sqrt{4x^2+8x-16}}\right)\\
    &=\lim_{x\to\infty}\frac{(4x^2-5x+9)-(4x^2+8x-16)}{\sqrt{4x^2-5x+9}+\sqrt{4x^2+8x-16}}\\
   &=\lim_{x\to\infty}\frac{(-13x+25)}{\sqrt{4x^2-5x+9}+\sqrt{4x^2+8x-16}}\\
   &=\lim_{x\to\infty}\frac{(-13x+25)\div x}{\left(\sqrt{4x^2-5x+9}+\sqrt{4x^2+8x-16}\right)\div x}\\
   &=\frac{-13+\frac{25}{x}}{\left(\sqrt{4x^2-5x+9}-\sqrt{4x^2+8x-16}\right)\div \sqrt{x^2}}\\
   &=\frac{-13+\frac{25}{x}}{\left(\sqrt{4-\frac{5}{x}+\frac{9}{x^2}}+\sqrt{4+\frac{8}{x}-\frac{16}{x^2}}\right)}\\
   &=\frac{-13+\frac{25}{\infty}}{\sqrt{4-\frac{5}{\infty}+\frac{9}{\infty^2}}+\sqrt{4+\frac{8}{\infty}-\frac{16}{\infty^2}}}\\
    &=\frac{-13+0}{\sqrt{4-0+0}+\sqrt{4+0-0}}\\ &=\frac{-13}{2\sqrt{4}}\\
   &=\frac{-13}{4}
    \end{aligned}$

Latihan Soal

Nah, selanjutnya silakan coba soal-soal berikut:

1. $\displaystyle  \lim_{x\to\infty}\frac{7}{x^9}$
   
2. $\displaystyle  \lim_{x\to\infty}\frac{3x^3-7x^2+6x-8}{4x^4+7x^2-9}$
   
3. $\displaystyle \lim_{x\to\infty}\frac{\sqrt{5x+4}-\sqrt{3x+9}}{4x}$
   
4. $\displaystyle \lim_{x\to\infty}\sqrt{36x^2-7x+26} - \sqrt{36x^2+13x+9}$
   
5. $\displaystyle  \lim_{x\to\infty}\sqrt{25x^2-9x-166) - 5x+3}$

Selamat belajar!

Tag Technorati: {grup-tag}Limit Fungsi Tak Hingga Limit Fungsi Limit Tak Hingga

More about → Limit Tak Hingga ~ Matematika SMA

Limit Fungsi Aljabar ~ Matematika SMA

Sifat

Berikut ini beberapa sifat yang harus diketahui mengenai limit fungsi aljabar.

1. Misalkan $f(a)$ terdefinisi, maka nilai $\displaystyle\lim_{x\to a} f(x)=f(a)$
   Contoh:$\displaystyle\lim_{x\to6} 5x-11 = 5(6)-11=19$
2. Jika $\displaystyle f(a)=\frac{0}{0}$ (tak tentu), maka nilai $\displaystyle\lim_{x\to a} f(x)$ diselesaikan dengan operasi aljabar
• Memfaktorkan pembilang dan penyebut $f(x)$ dengan faktor $(x-a)$ sehingga dapat disederhanakan.
  Contoh:
  $\begin{aligned}
  \lim_{x\to3} \frac{x^2-7x+12}{x^2-9}&=\lim_{x\to3} \frac{(x-3)(x-4)}{(x-3)(x+3)}\\
  &=\lim_{x\to3} \frac{x-4}{x+3}\\
  &=\frac{3-4}{3+3}\\
  &=-\frac{1}{6}\end{aligned}$
• Mengalikan pembilang dan penyebut dengan sekawannya apabila terdapat bentuk akar, kemudian disederhanakan
  Contoh:
  $\begin{aligned}
  \lim_{x\to-2} \frac{x+2}{\sqrt{5x+14}-2}&=\lim_{x\to-2}\frac{\left(x+2\right)\left(\sqrt{5x+14}+2\right)}{\left(\sqrt{5x+14}-2\right)\left(\sqrt{5x+14}+2\right)}\\
  &=\lim_{x\to-2}\frac{\left(x+2\right)\left(\sqrt{5x+14}+2\right)}{5x+10}\\
  &=\lim_{x\to-2}\frac{\left(x+2\right)\left(\sqrt{5x+14}+2\right)}{5(x+2)}\\
  &=\lim_{x\to-2}\frac{\left(\sqrt{5x+14}+2\right)}{5}\\
  &=\frac{\left(\sqrt{5(-2)+14}+2\right)}{5}\\
  &=\frac{4}{5}\end{aligned}$

Latihan Soal

Nah, sekarang latihan soal berikut ini bisa dicoba

1. $\displaystyle\lim_{x\to4}\frac{x^2-2x-8}{x-4}$
2. $\displaystyle\lim_{x\to16}\frac{\sqrt{4x}-8}{x-16}$
3. $\displaystyle\lim_{x\to3}\frac{x^2-9}{\sqrt{10-2x}-(x+1)}$
4. $\displaystyle\lim_{x\to0}\frac{\sqrt{9+3x}-\sqrt{9-3x}}{4x}$

Selamat Belajar!

Tag Technorati: {grup-tag}limit fungsi aljabar,limit fungsi,aljabar

More about → Limit Fungsi Aljabar ~ Matematika SMA

Pengenalan Limit ~ Matematika SMA

Pengertian

Misalkan suatu fungsi $f(x)$ didefinisikan di sekitar $x=a$, maka
$$\lim_{x\to a}f(x)=L$$
diartikan untuk $x$ mendekati $a$ mengakibatkan fungsi $f(x)$ mendekati $L$.

Contoh:

Jika $f(x)=2x+1$, tentukan nilai $\displaystyle\lim_{x\to0}f(x)$

Solusi:

Perhatikan tabel berikut!

$x$	$f(x)=2x+1$	$x$	$f(x)=2x+1$
1	3	-1	-1
0,1	1,2	-0,1	0,8
0,01	1,02	-0,01	0,98
0,001	1,002	-0,001	0,998
0,0001	1.0002	-0,0001	0,9998
0,0000000001	1,0000000002	-0,0000000001	0,9999999998

Kita tahu bahwa fungsi $f(x)=2x+1$ memiliki nilai yang mendekati $1$ ketika $x$ mendekati $0$, baik saat $x$ lebih dari $0$ maupun kurang dari $0$ (kita notasikan $x=0^+$ dan $x=0^-$.
Secara ringkas dapat kita tuliskan
$$\begin{aligned}
\lim_{x\to0^+}2x+1&=1\\
\lim_{x\to0^-}2x+1&=1
\end{aligned}$$
Sehingga dapat kita simpulkan bahwa
$$\lim_{x\to0}2x+1=2(0)+1=1$$

Problem:

Berapakah nilai $\displaystyle\lim_{x\to0}\frac{1}{x}$?

Solusi:

$x$	$f(x)=1/x$	$x$	$f(x)=1/x$
1	1	-1	-1
0,1	10	-0,1	-10
0,01	100	-0,01	-100
0,001	1000	-0,001	-1000
0,0001	10000	-0,0001	-10000
0,0000000001	10000000000	-0,0000000001	-10000000000

Perhatikan bahwa saat $x$ dari $1$ menuju $0$, nilai $f(x)=\frac{1}{x}$ akan mendekati $\infty$. Akan tetapi, apabila kita lihat pada saat $x$ berada di antara $-1$ dan $0$, didapat nilai $f(x)$ mendekati $-\infty$.
Atau dapat kita tuliskan:
$$\begin{aligned}
\lim_{x\to0^+}\frac{1}{x}&=\infty\\
\lim_{x\to0^-}\frac{1}{x}&=-\infty
\end{aligned}$$
Dengan demikian, bisa kita simpulkan bahwa
$$\lim_{x\to0}\frac{1}{x}=\text{tidak ada}$$

Latihan Soal:

Tentukanlah nilai limit pada fungsi berikut!

1. $\displaystyle\lim_{x\to3}4x+9$
2. $\displaystyle\lim_{x\to5}\sqrt{x^2+10x-25}$
3. $\displaystyle\lim_{x\to\pi}\sin2x$
4. $\displaystyle\lim_{x\to2\pi}\tan\left(\frac{x}{4}\right)$

Selamat Belajar!

More about → Pengenalan Limit ~ Matematika SMA