Problem - Nilai Maksimum fungsi Trigonometri

Problem:
Tentukan nilai maksimum dari
$$y=5- \frac{15}{4\cos x - 2\sqrt{5}\sin x +9}$$

Solusi:
Perhatikan bahwa $4\cos x - 2\sqrt{5}\sin x$ dapat disederhanakan menjadi:
$$
\begin{aligned}
4\cos x - 2\sqrt{5}\sin x&=\left(\sqrt{16+20}\right)\left(\cos\alpha\cos x - \sin\alpha\sin x\right)\quad \alpha=\arctan{\frac{\sqrt{5}}{2}}\\
&=6\cos(x+\alpha)
\end{aligned}
$$
Sehingga soal di atas dapat disederhanakan menjadi:
$$y=5-\frac{15}{6\cos(x+\alpha)+9}$$
Agar nilai $y$ maksimum, haruslah $\displaystyle \frac{15}{6\cos(x+\alpha)+9}$ minimum. Yang berarti bahwa nilai $\cos(x+\alpha)$ mencapai maksimum, yakni $= 1$. Sehingga Nilai maksimum $y$ adalah:
$$
\begin{aligned}
y&=5-\frac{15}{6\cos(x+\alpha)+9}\\
&=5-\frac{15}{6+9}\\
&=5-\frac{15}{15}\\
&=5-1\\
&=4
\end{aligned}
$$
Jadi Nilai maksimum $y$ adalah $4$

Technorati : fungsi, maksimum, trigonometri Del.icio.us : fungsi, maksimum, trigonometri
Zooomr : fungsi, maksimum, trigonometri Flickr : fungsi, maksimum, trigonometri

More about → Problem - Nilai Maksimum fungsi Trigonometri

Problem - Tangen sudut rangkap

Problem:
Buktikan bahwa $$\begin{aligned}\tan n\theta &=\frac{\displaystyle\binom{n}{1} \tan \theta - \binom{n}{3} \tan^3\theta+\cdots}{\displaystyle1-\binom{n}{2} \tan^2\theta+\cdots}\end{aligned}$$

Solusi:

More about → Problem - Tangen sudut rangkap

Problem – Integral Khusus

Problem: 
Misalkan $f$ dan $g$ adalah fungsi kontinyu pada $[0,a]$, dan misalkan pula $f(x)=f(a-x)$ dan $g(x)+g(a-x)=k$ untuk semua $x$ pada $[0,a]$. Buktikan bahwa
$$\int_0^a f(x)g(x)dx=\frac{1}{2}k\int_0^a f(x)dx$$

Solusi:

More about → Problem – Integral Khusus

Problem - w dan 1/w

Problem:
Tentukan semua solusi real $x$, $y$, $z$, $w$ pada sistem:
$$\begin{aligned}
x+y+z&=w\\
\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}&=\frac{1}{w}
\end{aligned}$$

More about → Problem - w dan 1/w

Problem - Pangkat Bertingkat tiga

Problem:

Diketahui bahwa $x$ merupakan bilangan real yang memenuhi:
$$x^{x^{x^{2013}}}=2013$$
Tentukan nilai $x$

More about → Problem - Pangkat Bertingkat tiga

Problem Ineks

Problem:
Jika $a,b,c$ bilangan real positif, buktikan bahwa :
$$\frac{a}{b^2 + c^2 + d^2} +\frac{ b}{a^2 + c^2 + d^2} + \frac{c}{a^2 + b^2 + d^2} + \frac{d}{a^2 + b^2 + c^2} \ge \frac{4}{a+b+c+d}$$

More about → Problem Ineks

Problem - Jumlah Barisan Repunit

Problem:

Jika diketahui $B_n$ merupakan bilangan yang terdiri dari angka 1 sebanyak $n$. Misal $B_3=111$, $B_7=1111111$. Tentukan nilai dari
$$\lim_{n\to\infty}  \sum_{k=1}^n \frac{B_k}{10^n}$$

More about → Problem - Jumlah Barisan Repunit

Problem - Integral Arctan

Problem:
Hitunglah
$$\int_0^\infty \frac{\arctan{\pi x}-\arctan{x}}{x}dx$$

More about → Problem - Integral Arctan