Pada materi Turunan/diferensial, kita telah mengetahui bahwa:
$$
\begin{aligned}
f(x)=x^2+5x\quad&\Rightarrow\quad f'(x)=2x+5\\
f(x)=x^2+5x+2\quad&\Rightarrow\quad f'(x)=2x+5\\
f(x)=x^2+5x+9\quad&\Rightarrow\quad f'(x)=2x+5\\
f(x)=x^2+5x+C\quad&\Rightarrow\quad f'(x)=2x+5
\end{aligned}
$$
Berapapun nilai $C$ yang kita berikan pada suatu fungsi $f(x)$ akan tetap menghasilkan turunan/diferensial yang sama. Sehingga anti-turunan dari fungsi $f'(x)=2x+5$ dapat dinyatakan dalam bentuk:
$$f(x)=\int f'(x)dx=\int 2x+5dx = x^2+5x+C$$
Notasi
Secara umum dapat kita tuliskan
$$\int x^n dx = \frac{x^{n+1}}{n+1}+C,\quad n\neq-1$$
Sifat
Sifat-sifat Integral tak tentu:
- $\int [ f(x)\pm g(x) ] dx=\int f(x) dx \pm \int g(x) dx$
- $\int ax^n dx = a\int x^n dx = \dfrac{a}{n+1}x^{n+1}+C$
- $\int dx = x + C$
- $\int a f(x) dx = a\int f(x) dx$
Contoh Soal
Tentukan integral tak tentu dari
- $3x^2+6x+8$
- $5x^4+7x-9$
- $x^{\frac{1}{2}}+3x^{-\frac{1}{2}}+5$
Solusi
- $\displaystyle\int 3x^2+6x+8 dx=x^3+3x^2+8x+C$
- $\displaystyle\int 5x^4+7x-9 dx=x^5+\frac{7}{2}x^2-9x+C$
- $\displaystyle\int x^{\frac{1}{2}}+3x^{-\frac{1}{2}}+5 dx=\frac{2}{3}x^{\frac{3}{2}}+6x^{\frac{1}{2}}+5x+C$
Nah, sekarang mari berlatih!
Latihan Soal
Tentukan integral tak tentu pada bentuk-bentuk berikut!
- $\displasystyle\int 4x+8$
- $\displasystyle\int 3x^2-6x+8$
- $\displasystyle\int 2x^2+3x-4$
- $\displasystyle\int 6x^5-\dfrac{5}{2}x^2+13$
- $\displasystyle\int \frac{2}{3}x^{\frac{1}{2}}+5x^{-\frac{1}{2}}-16$
Selamat Belajar!
