Integral Tak Tentu ~ Matematika SMA

Pada materi Turunan/diferensial, kita telah mengetahui bahwa:
$$
\begin{aligned}
f(x)=x^2+5x\quad&\Rightarrow\quad f'(x)=2x+5\\
f(x)=x^2+5x+2\quad&\Rightarrow\quad f'(x)=2x+5\\
f(x)=x^2+5x+9\quad&\Rightarrow\quad f'(x)=2x+5\\
f(x)=x^2+5x+C\quad&\Rightarrow\quad f'(x)=2x+5
\end{aligned}
$$
Berapapun nilai $C$ yang kita berikan pada suatu fungsi $f(x)$ akan tetap menghasilkan turunan/diferensial yang sama. Sehingga anti-turunan dari fungsi $f'(x)=2x+5$ dapat dinyatakan dalam bentuk:
$$f(x)=\int f'(x)dx=\int 2x+5dx = x^2+5x+C$$

Notasi

Secara umum dapat kita tuliskan
$$\int x^n dx = \frac{x^{n+1}}{n+1}+C,\quad n\neq-1$$

Sifat

Sifat-sifat Integral tak tentu:

1. $\int [ f(x)\pm g(x) ] dx=\int f(x) dx \pm \int g(x) dx$
2. $\int ax^n dx = a\int x^n dx = \dfrac{a}{n+1}x^{n+1}+C$
3. $\int dx = x + C$
4. $\int a f(x) dx = a\int f(x) dx$

Contoh Soal

Tentukan integral tak tentu dari

1. $3x^2+6x+8$
2. $5x^4+7x-9$
3. $x^{\frac{1}{2}}+3x^{-\frac{1}{2}}+5$

Solusi

1. $\displaystyle\int 3x^2+6x+8 dx=x^3+3x^2+8x+C$
2. $\displaystyle\int 5x^4+7x-9 dx=x^5+\frac{7}{2}x^2-9x+C$
3. $\displaystyle\int x^{\frac{1}{2}}+3x^{-\frac{1}{2}}+5 dx=\frac{2}{3}x^{\frac{3}{2}}+6x^{\frac{1}{2}}+5x+C$

Nah, sekarang mari berlatih!

Latihan Soal

Tentukan integral tak tentu pada bentuk-bentuk berikut!

1. $\displasystyle\int 4x+8$
2. $\displasystyle\int 3x^2-6x+8$
3. $\displasystyle\int 2x^2+3x-4$
4. $\displasystyle\int 6x^5-\dfrac{5}{2}x^2+13$
5. $\displasystyle\int \frac{2}{3}x^{\frac{1}{2}}+5x^{-\frac{1}{2}}-16$

Selamat Belajar!