Problem - Jumlah Barisan Repunit

Problem:

Jika diketahui $B_n$ merupakan bilangan yang terdiri dari angka 1 sebanyak $n$. Misal $B_3=111$, $B_7=1111111$. Tentukan nilai dari
$$\lim_{n\to\infty}  \sum_{k=1}^n \frac{B_k}{10^n}$$




Solusi:
Perhatikan bahwa $\displaystyle B_k=111...111 = \frac{10^k-1}{9}$
sehingga:
$$
\begin{aligned}
\lim_{n\to\infty}  \sum_{k=1}^n \frac{B_k}{10^n} & = \lim_{n\to\infty}  \sum_{k=1}^n \frac{10^k-1}{9\cdot10^n}\\
&= \lim_{n\to\infty}  \frac{1}{9}\left(\sum_{k=1}^n \frac{10^k}{10^n}-\sum_{k=1}^n \frac{1}{10^n}\right)\\
&= \lim_{n\to\infty}  \frac{1}{9}\left(\sum_{k=1}^n \frac{1}{10^{n-k}}- \frac{n}{10^n}\right)\\
&= \lim_{n\to\infty}  \frac{1}{9}\left(\sum_{m=0}^n \frac{1}{10^{m}}- \frac{n}{10^n}\right)\\
&= \lim_{n\to\infty}  \frac{1}{9}\left(\frac{1\left(1-\frac{1}{10^n}\right)}{1-\frac{1}{10}}- \frac{n}{10^n}\right)\\
&=\frac{1}{9}\cdot\frac{10}{9}-\lim_{n\to\infty}\frac{n}{9\cdot10^n}\\
&=\frac{10}{81}
\end{aligned}
$$