Limit Tak Hingga ~ Matematika SMA

Pernahkah kita memikirkan, bagaimana jika seandainya sepotong roti dibagikan kepada seluruh penduduk di dunia? Seberapa besar potongan roti yang kita dapat? Cukup kecil, bahkan sangat kecil, bisa juga kita menganggapnya hampir tak ada potongan roti yang kita dapat. Bagaimana jika seandainya penduduk bumi ini ada takhingga jumlahnya? seberapa besar potongan roti yang kita terima? Nah, hal ini bisa kita pelajari lebih lanjut pada bahasan kali ini.

Rumus Dasar

Berawal dari bentuk $\displaystyle\frac{1}{x}$
Kita tahu bahwa saat nilai $x$ sangat besar, mengakibatkan $\displaystyle\frac{1}{x}$ menjadi sangat kecil. Untuk $x\to\infty$ mengakibatkan $\displaystyle\frac{1}{x}\to0$. Sehingga $$\displaystyle\lim_{x\to\infty}\frac{1}{x}=0$$.
Rumus tersebut dapat dikembangkan menjadi rumus-rumus berikut:

1. $\displaystyle\lim_{x\to\infty}\frac{a}{x^n}=0$ untuk $n$ bilangan asli.
   
2. $\displaystyle\lim_{x\to\infty}\frac{a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+\cdots+a_1x+a_0}{b_mx^m+b_{m-1}x^{m-1}+\cdots+b_1x+b_0}$ menghasilkan:
   • 
     $\infty$ jika $n>m$
     
   • 
     $\displaystyle\frac{a_n}{b_m} jika $n=m$
     
   • 
     $0$ jika $n<m$
   
   
3. $\displaystyle\lim_{x\to\infty}\left(\sqrt{f(x)}-\sqrt{g(x)}\right)$ nilainya dapat ditentukan dengan mengalikan dengan sekawannya $\displaystyle\left(\frac{\sqrt{f(x)}+\sqrt{g(x)}}{\sqrt{f(x)}+\sqrt{g(x)}}\right)$ sehingga diperoleh bentuk pecahan dari limit tersebut (dan dapat digunakan rumus no 2 untuk menyelesaikannya)

Contoh

Tentukanlah nilai dari limit-limit berikut:

1. 
   $\displaystyle\lim_{x\to\infty}\frac{4x^2-7x+6}{6x^2-9x+15}$
   
2. 
   $\displaystyle\lim_{x\to\infty}\sqrt{4x^2-5x+9}-\sqrt{4x^2+8x-16}$

Solusi

1. 
   $\displaystyle\begin{aligned}\lim_{x\to\infty}\frac{4x^2-7x+6}{6x^2-9x+15}&=\frac{(4x^2-7x+6)\div x^2}{(6x^2-9x+15)\div x^2}\\&=\lim_{x\to\infty}\frac{4-\frac{7}{x}+\frac{6}{x^2}}{6-\frac{9}{x}+\frac{15}{x^2}}\\&=\frac{4-\frac{7}{\infty}+\frac{6}{\infty^2}}{6-\frac{9}{\infty}+\frac{15}{\infty^2}}\\&=\frac{4-0+0}{6-0+0}\\&=\frac{4}{6}=\frac{2}{3}\end{aligned}$
   
2. 
   $\displaystyle
   \begin{aligned}&\; \lim_{x\to\infty}\sqrt{4x^2-5x+9}-\sqrt{4x^2+8x-16}\\
   &=\lim_{x\to\infty}\left(\sqrt{4x^2-5x+9}-\sqrt{4x^2+8x-16}\right)\left(\frac{\sqrt{4x^2-5x+9}+\sqrt{4x^2+8x-16}}{\sqrt{4x^2-5x+9}+\sqrt{4x^2+8x-16}}\right)\\
    &=\lim_{x\to\infty}\frac{(4x^2-5x+9)-(4x^2+8x-16)}{\sqrt{4x^2-5x+9}+\sqrt{4x^2+8x-16}}\\
   &=\lim_{x\to\infty}\frac{(-13x+25)}{\sqrt{4x^2-5x+9}+\sqrt{4x^2+8x-16}}\\
   &=\lim_{x\to\infty}\frac{(-13x+25)\div x}{\left(\sqrt{4x^2-5x+9}+\sqrt{4x^2+8x-16}\right)\div x}\\
   &=\frac{-13+\frac{25}{x}}{\left(\sqrt{4x^2-5x+9}-\sqrt{4x^2+8x-16}\right)\div \sqrt{x^2}}\\
   &=\frac{-13+\frac{25}{x}}{\left(\sqrt{4-\frac{5}{x}+\frac{9}{x^2}}+\sqrt{4+\frac{8}{x}-\frac{16}{x^2}}\right)}\\
   &=\frac{-13+\frac{25}{\infty}}{\sqrt{4-\frac{5}{\infty}+\frac{9}{\infty^2}}+\sqrt{4+\frac{8}{\infty}-\frac{16}{\infty^2}}}\\
    &=\frac{-13+0}{\sqrt{4-0+0}+\sqrt{4+0-0}}\\ &=\frac{-13}{2\sqrt{4}}\\
   &=\frac{-13}{4}
    \end{aligned}$

Latihan Soal

Nah, selanjutnya silakan coba soal-soal berikut:

1. $\displaystyle  \lim_{x\to\infty}\frac{7}{x^9}$
   
2. $\displaystyle  \lim_{x\to\infty}\frac{3x^3-7x^2+6x-8}{4x^4+7x^2-9}$
   
3. $\displaystyle \lim_{x\to\infty}\frac{\sqrt{5x+4}-\sqrt{3x+9}}{4x}$
   
4. $\displaystyle \lim_{x\to\infty}\sqrt{36x^2-7x+26} - \sqrt{36x^2+13x+9}$
   
5. $\displaystyle  \lim_{x\to\infty}\sqrt{25x^2-9x-166) - 5x+3}$

Selamat belajar!

Tag Technorati: {grup-tag}Limit Fungsi Tak Hingga Limit Fungsi Limit Tak Hingga