Problem – Integral Khusus

Problem: 
Misalkan $f$ dan $g$ adalah fungsi kontinyu pada $[0,a]$, dan misalkan pula $f(x)=f(a-x)$ dan $g(x)+g(a-x)=k$ untuk semua $x$ pada $[0,a]$. Buktikan bahwa
$$\int_0^a f(x)g(x)dx=\frac{1}{2}k\int_0^a f(x)dx$$

Solusi:

Sebut saja $$I=\int_0^a f(x)g(x)dx$$
Dengan sedikit modifikasi $y=a-x$, didapat $dy=-dx$. dan $x=a-y$ dan
$$
\begin{aligned}
I&=\int_0^a f(x)g(x)dx\\
&=\int_{a-0}^{a-a} f(a-y)g(a-y)dx\\
&=\int_a^0 f(a-y)g(a-y)(-dy)\\
&=\int_0^a f(a-y)g(a-y)dy\\
&=\int_0^a f(a-x)g(a-x)dx\\
\end{aligned}$$
Sementara itu $f(a-x)=f(x)$ dan $g(a-x)=k-g(x)$. Dari sini bisa kita peroleh bahwa:
$$
\begin{aligned}
\int_0^a f(x)g(x)dx + \int_0^a f(a-x)g(a-x)dx &= \int_0^a f(x)g(x)dx + \int_0^a f(x)\left[k-g(x)\right]dx\\
I+I&= \int_0^a f(x)g(x)dx + \int_0^a k f(x)dx -\int_0^a f(x)g(x)dx \\
2I&= k\int_0^a  f(x)dx \\
I&=\frac{1}{2}k\int_0^a f(x)dx
\end{aligned}
$$

Tag Technorati: {grup-tag}integral,problem,kalkulus