Problem - Tangen sudut rangkap

Problem:
Buktikan bahwa $$\begin{aligned}\tan n\theta &=\frac{\displaystyle\binom{n}{1} \tan \theta - \binom{n}{3} \tan^3\theta+\cdots}{\displaystyle1-\binom{n}{2} \tan^2\theta+\cdots}\end{aligned}$$

Solusi:

Dengan menggunakan De Moivre's Theorem $e^{(i\theta)n}=e^{i(n\theta)}=\cos\left(n\theta\right)+i\sin\left(n\theta\right)$. Sementara itu, $e^{(i\theta)n}=\left(\cos\theta+i\sin\theta\right)^n$. Sehingga bisa kita tuliskan
$$
\begin{aligned}
\cos\left(n\theta\right)+i\sin\left(n\theta\right)&=\sum_{k=0}^n\binom{n}{k}i^k\cos^{n-k}\theta\sin^k\theta
\end{aligned}
$$
Tetapi kita tahu bahwa $i^2=-1$ dan $i^3=-i$. Sehingga bentuk di atas dapat disederhanakan menjadi

$$
\begin{aligned}
\cos\left(n\theta\right)+i\sin\left(n\theta\right)&=\sum_{k=0}^n\binom{n}{2k}(-1)^k\cos^{n-2k}\theta\sin^{2k}\theta+\sum_{k=0}^n\binom{n}{2k+1}(i)^{2k+1}\cos^{n-2k-1}\theta\sin^{2k+1}\theta
\end{aligned}
$$
Dengan memisahkan antara nilai Real dan Imaginer pada bentuk di atas, diperoleh:
$$\cos(n\theta)=\sum_{k=0}^n\binom{n}{2k}(-1)^k\cos^{n-2k}\theta\sin^{2k}\theta$$
$$\sin(n\theta)=\sum_{k=0}^n\binom{n}{2k+1}(-1)^k\cos^{n-2k-1}\theta\sin^{2k+1}\theta$$
Selanjutnya, kita tahu bahwa $\displaystyle\tan(n\theta)=\frac{\sin(n\theta)}{\cos(n\theta)}$. Sehingga bentuk di atas dapat diubah menjadi
$$
\begin{aligned}
\tan(n\theta)&=\frac{\displaystyle\sum_{k=0}^n\binom{n}{2k+1}(-1)^k\cos^{n-2k-1}\theta\sin^{2k+1}\theta}{\displaystyle\sum_{k=0}^n\binom{n}{2k}(-1)^k\cos^{n-2k}\theta\sin^{2k}\theta}
\end{aligned}
$$
Bagi pembilang dan penyebut dengan $\cos^n\theta$ diperoleh

$$
\begin{aligned}
\tan(n\theta)&=\frac{\displaystyle\sum_{k=0}^n\binom{n}{2k+1}(-1)^k\tan^{2k+1}\theta}{\displaystyle\sum_{k=0}^n\binom{n}{2k}(-1)^k\tan^{2k}\theta}\\
&=\frac{\displaystyle\binom{n}{1} \tan \theta - \binom{n}{3} \tan^3\theta+\cdots}{\displaystyle1-\binom{n}{2} \tan^2\theta+\cdots}
\end{aligned}
$$